Sui logaritmi

I logaritmi paiono proprio essere una delle bestie nere degli studenti italiani: ecco una tecnica segreta per farseli amici!

y = log_b a

Gia' a vederlo cosi', a molti fa venire l'angoscia! Eppure l'utilita' della meno amata tra le operazioni matematiche e' stata fondamentale per il progresso umano, permettendo la velocizzazione dei calcoli in modo mostruoso. Alla fine vi spiego il perche'!

In ogni caso le difficolta' degli studenti sono comprensibili, anche se nessuna pieta' verra' riservata a coloro che non si impegnano a progredire!
La complessita' del logaritmo c'e' e studenti abituati a fare somme e differenze, prodotti e rapporti o potenze ed estrazioni di radice, si intimoriscono facilmente di fronte all'introduzione di questa nuova operazione.
In realta' chi conosce bene le potenze non ha nulla da temere dai logaritmi, visto che questi non sono null'altro che la loro operazione inversa.

Consideriamo:
y = log_ba
Il logaritmo di un numero naturale a in base b non e' niente altro che quel numero ya cui devo elevare b per ottenere a. In altre parole deve essere vero che b^y=a.
Il numero a, che deve essere strettamente maggiore di 0, prende il nome di argomento del logaritmo.

Le prime volte che agli studenti capitera' di calcolare dei logaritmi gli esercizi saranno molto facili e avranno risposte discretamente banali (tipicamente numeri interi).
Vi faccio degli esempi. Si calcolino i seguenti logaritmi:

1. log₂ 4;
2. log₃ 9;
3. log₇7;
4. log₈ 1;
5. log₁₀ 100;
6. log₃ 243

Probabilmente pochissimi studenti sarebbero in grado di rispondere correttamente agli esercizi proposti, anche dopo essere stati attentissimi alla lezione!

Gli stessi studenti, pero' avrebbero di certo meno problemi a rispondere alle seguenti domande: che numero devo porre' al posto delle x perche' la potenza a sinistra dell'uguale equivalga al numero di destra, nei seguenti casi:

1. 2^x=4;
2. 3^x=9;
3. 7^x=7;
4. 8^x=1;
5. 10^x=100;
6. 3^x=243;

Le risposte a questi sei quesiti sono le stesse che nel caso dei logaritmi. In realta' il modo con cui sono state presentate queste ultime non e' null'altro che la traduzione di cio' che simbolicamente l'operazione logaritmo rappresenta.
Si suggerisce agli studenti di prendere confidenza con i logaritmi in questo modo, salvo poi interiorizzare la scrittura matematica convenzionale poiche' consente enormi vantaggi in caso di esercizi piu' complessi.

Perche' il logaritmo e' cosi' importante?
Procedendo nello studio dei logaritmi si scoprira' che questi hanno delle proprieta' spettacolari. Grazie ad esse ed al loro sapiente uso, applicando il logaritmo ad un prodotto si ottiene una somma, applicandolo ad un rapporto una differenza, applicandolo ad una potenza si ottiene un prodotto e applicandolo ad una radice un rapporto.
In buona sostanza tale operazione matematica ha la indiscussa capacita' di semplificare i conti, cosa fondamentale, soprattutto ai tempi in cui i calcolatori non erano disponibili.
Spero di poter tornare presto sull'argomento illustrando esempi mirabili.